El objetivo de este curso es aprender las nociones esenciales relacionadas con las estructuras básicas del álgebra como son la estructura de anillo y la de grupo. Esta segunda la trabajaremos de manera breve ya que hay otra asignatura del Grado en Matemáticas que se dedica específicamente a ella.
El ejemplo más conocido de anillo es el de los números enteros con la suma y el producto. Estudiaremos sus propiedades como anillo, la noción de divisibilidad, las de mínimo común múltiplo y máximo común divisor y probaremos el Teorema Fundamental de la Aritmética que establece que todo entero positivo se descompone como un producto de potencias de números primos. Los números primos diferentes que aparecen en la descomposición son únicos, así como sus exponentes.
A partir de los enteros se pueden construir otros ejemplos de anillos (Z_n, donde n es un natural) que son también conmutativos y unitarios, como Z. Sin embargo, son finitos. Cuando n es un número primo, Z_n tiene estructura de cuerpo.
A Z_n se llega estableciendo una relación de equivalencia en Z. Esta relación es la que se llama ``congruencia módulo n". También estudiaremos ecuaciones con congruencias y motivaremos el por qué de su estudio: una de las razones es determinar la estructura del anillo Z_n.
Una de las ``desventajas" que presenta Z es que los únicos elementos que tienen inverso para el producto son 1 y -1. Sin embargo, hay un menor cuerpo que contiene a Z, y es Q. La construcción de Q a partir de Z será un ejemplo inspirador para construir el cuerpo de fracciones de un dominio de integridad arbitrario.
El siguiente objetivo que afrontamos es el de estudiar los homomorfismos de grupos y de anillos. Hablando grosso modo podemos decir que son aplicaciones entre grupos (entre anillos) que respetan las operaciones. Cuando el homomorfismo sea una aplicación biyectiva tendremos que los grupos (los anillos) de partida y de llegada (concretamente, el dominio y la imagen del homomorfismo) van a ser ``esencialmente" iguales.
Abordaremos los teoremas de isomorfía para grupos y también para anillos, así como la descomposición canónica de un homomorfismo, que nos proporciona una herramienta para determinar homomorfismos entre grupos (o entre anillos). Los ideales maximales y primos también se estudiarán. Un ideal (en un anillo conmutativo) será maximal si el cociente del anillo por el cuerpo tiene estructura de cuerpo, y será primo cuando el cociente sea un dominio de integridad. También estudiaremos los que se conocen como cuerpos primos: los cuerpos que todo cuerpo contiene, tanto si es de característica finita como si lo es de característica cero.
La última parte del curso estará destinada a tratar los anillos de polinomios sobre un cuerpo en una indeterminada x. El modelo de Z será ilustrativo para entender la estructura de F[x]. Las nociones de divisibilidad, de mínimo común múltiplo y máximo común divisor, asícomo la existencia y unicidad de la descomposición de polinomios en productos de potencias de factores primos remedarán lo que ocurre en Z. Posteriormente trataremos los dominios de ideales principales y los dominios de factorización única.
El ejemplo más conocido de anillo es el de los números enteros con la suma y el producto. Estudiaremos sus propiedades como anillo, la noción de divisibilidad, las de mínimo común múltiplo y máximo común divisor y probaremos el Teorema Fundamental de la Aritmética que establece que todo entero positivo se descompone como un producto de potencias de números primos. Los números primos diferentes que aparecen en la descomposición son únicos, así como sus exponentes.
A partir de los enteros se pueden construir otros ejemplos de anillos (Z_n, donde n es un natural) que son también conmutativos y unitarios, como Z. Sin embargo, son finitos. Cuando n es un número primo, Z_n tiene estructura de cuerpo.
A Z_n se llega estableciendo una relación de equivalencia en Z. Esta relación es la que se llama ``congruencia módulo n". También estudiaremos ecuaciones con congruencias y motivaremos el por qué de su estudio: una de las razones es determinar la estructura del anillo Z_n.
Una de las ``desventajas" que presenta Z es que los únicos elementos que tienen inverso para el producto son 1 y -1. Sin embargo, hay un menor cuerpo que contiene a Z, y es Q. La construcción de Q a partir de Z será un ejemplo inspirador para construir el cuerpo de fracciones de un dominio de integridad arbitrario.
El siguiente objetivo que afrontamos es el de estudiar los homomorfismos de grupos y de anillos. Hablando grosso modo podemos decir que son aplicaciones entre grupos (entre anillos) que respetan las operaciones. Cuando el homomorfismo sea una aplicación biyectiva tendremos que los grupos (los anillos) de partida y de llegada (concretamente, el dominio y la imagen del homomorfismo) van a ser ``esencialmente" iguales.
Abordaremos los teoremas de isomorfía para grupos y también para anillos, así como la descomposición canónica de un homomorfismo, que nos proporciona una herramienta para determinar homomorfismos entre grupos (o entre anillos). Los ideales maximales y primos también se estudiarán. Un ideal (en un anillo conmutativo) será maximal si el cociente del anillo por el cuerpo tiene estructura de cuerpo, y será primo cuando el cociente sea un dominio de integridad. También estudiaremos los que se conocen como cuerpos primos: los cuerpos que todo cuerpo contiene, tanto si es de característica finita como si lo es de característica cero.
La última parte del curso estará destinada a tratar los anillos de polinomios sobre un cuerpo en una indeterminada x. El modelo de Z será ilustrativo para entender la estructura de F[x]. Las nociones de divisibilidad, de mínimo común múltiplo y máximo común divisor, asícomo la existencia y unicidad de la descomposición de polinomios en productos de potencias de factores primos remedarán lo que ocurre en Z. Posteriormente trataremos los dominios de ideales principales y los dominios de factorización única.
- Profesor: Gil Canto Cristóbal
- Profesor: Siles Molina Mercedes